就在最近，GPT-6 Astra 在哥德巴赫猜想上又往前走了一步。
网友 Captain Sude 公布的消息是，Astra 已经证明了刘维尔函数版本的类哥德巴赫猜想。同时通过的，还有 Lean 4 的形式化验证。
更具体的说法是，它无条件证明了哥德巴赫猜想的刘维尔弱形式。
这次不太一样。
它不是靠算力硬堆出来的，走的是一条很优雅的逻辑推理链。
对关注 AI工具 的人来说，这条消息的分量不止是又一个榜单分数。
从 ChatGPT 开始，大家就一直在追问同一件事。模型能不能做真正的数学。
这一次给出的答案，分量不轻。
一颗摘不下的明珠
哥德巴赫猜想这个幽灵，已经在人类数学家头上悬了快三百年。
1742 年，哥德巴赫在写给欧拉的信里提出这个猜想。任一个大于 2 的偶数，都能写成两个素数之和。
为了它，无数人耗尽心血。从哈代和李特尔伍德，到陈景润证明「1+2」，皇冠上那颗「1+1」始终没人够得着。
原因很朴素。素数的分布太诡异了。
换一个函数来当替身
死磕行不通，数学家就绕开素数，找了一个替身来模拟它。
这个替身叫刘维尔函数。它的规则像一只只认单双数的开关。
一个数含有的质数因子个数是偶数，函数值取 1。个数是奇数，函数值就取 -1。
像 2 和 7 这样的纯质数，函数值大多是 -1。反过来不成立。8 和 12 的函数值同样是 -1。
2018 年，数学论坛 MathOverflow 上出现了一个弱化版的问题。对每个大于 2 的偶数，能不能都找到两个正整数，让它们的和等于这个偶数，并且两个函数值同时为 -1。
如果经典哥德巴赫猜想成立，那一对素数的函数值必然都是 -1。这个弱化版也跟着成立。
反过来看，它把条件放宽了。加数不一定是纯素数，只要含有奇数个质数因子就行。
放宽之后并不容易。它依然难到令人发指。
核心卡在符号上。这种正负交替在加法组合下会不会互相抵消，决定了乘法那套积木和加法组合到底怎么连通。
后来有人把这个门槛抬得更高。数学家想要的是无条件结论，不是「在某个猜想成立的前提下成立」。
两页纸拆掉两把锁
2024 年，数学家 Alexander P. Mangerel 有了突破。他证明了对所有足够大的偶数，这个猜想都成立。
但证明带着两把锁。
第一把叫「足够大」。它管不到比较小的偶数。
第二把叫广义黎曼猜想。只有这个猜想成立，他的结论才站得住。
这一次，Astra 把两把锁一起拆了。
一开始它只丢出一份两页纸的 PDF。
论文里的主张很干脆。不需要广义黎曼猜想，也无条件成立。所有能被 4 整除的正整数，都能写成两个函数值为 -1 的正整数之和。
它拿的是 Mangerel 论文里的一个无条件相关性界限，配上一个很精巧的下降法。
核心逻辑走反证法。假设存在一个奇数，它不被 3 整除，而且在 4 倍这个规模上，不存在一对和等于它的数，两个函数值都是 -1。
接下来是步步紧逼。
乘以 4 不改变函数值，所以这个奇数本身也拆不出两个负数。
乘以 2 会翻转函数值，所以它的两倍也拆不出两个正数。
再假设它有一对正数拆分，取差值最小的一对，用它们和 3 的整除关系，硬推出一处矛盾。
结论就出来了。仅靠初等的代数推导，无条件成立的情形被找了出来。
推导过程简单到高中生都能看懂。
四十八小时推到全部偶数
事情还没完。
Captain Sude 透露，第一天拿下「4 的倍数」之后，第二天 Astra 又找到一条全新的初等证明路线。这一次，结果被推到了全部大于 2 的偶数。
它给出的核心主张是这一条。
这里没有「充分大」的限制，也没有有限例外集。所有偶数，无条件成立。
思路更漂亮。它没有暴力穷举，也没有把以前的解析估计压得更紧，而是做了一次结构转化。
五步走。
第一步找一个替罪羊。先证明对每个大于 3 的素数，都存在一对正整数，和等于它的两倍，函数值都是 1。
第二步把函数延拓到有限域上，逼出乘法对称性上的缺陷。
第三步用交换律让两条路径互相抵消，把非零缺陷全部消灭。
第四步用下降引理，把局部成立的乘法规则传染到整个有限域。
第五步用二次剩余制造矛盾，最后得到 1 等于 -1。
假设被这一句话彻底粉碎。刘维尔版本的哥德巴赫猜想，在全偶数域上无条件成立。
这条把加法阻碍转成乘法刚性的路线，优雅得不太像机器写出来的东西。
机器验证过了，但话说回来
Astra 同时提交了 Lean 4 的完整形式化验证。形式化验证意味着逻辑上没有漏洞。
知乎上有位答主对开源的 v1.0.0 版本做了独立复核。结果是 Lean 证明可以完美重新编译，最终定理和论文主张完全一致。
代码里没有任何未填补的坑，没有自造的公理，249 个偶数的数值冒烟测试全部通过。
看到这里，可能有人会以为经典的哥德巴赫猜想已经被解决了。
必须严谨地说，还没有。
被解决的是哥德巴赫猜想的刘维尔弱化版本。从「质数因子个数为奇数的合数」跨到「纯正的质数」，中间还隔着天堑。
经典哥德巴赫猜想，依然是那颗高高悬挂的果实。
不过这次突破的分量并不轻。
在纯数学这一侧，它为整个数论搭起了一座桥，把「乘法积木」和「加法组合」连通起来。这可能是未来攻克原版猜想的钥匙。
在 AI 这一侧，它更像一个奇点时刻。
一直以来，我们以为模型擅长的是海量记忆和暴力计算，比如下围棋，比如算蛋白质折叠。这一次展现出来的东西不太一样。
它更像一位有天赋的数学家，写了一篇让人类同行说优雅的证明。
它不再只是一个陪你做 AI问答 的对话框。它开始参与解题本身。
