2023 年 4 月，丘成桐在复旦大学说过一句话。
「人工智能不可能对最尖端的数学家有任何影响」。
两年半过去，他在新论文里感谢了两个大模型。
一个是 Claude Pro。
另一个是 GPT 6 Astra。
论文要解决的，不是一道新题。
是 44 年前他自己写进问题清单的那一道。
问题的舞台在七维空间。
那里的球面有 28 种「版本」。
27 种和熟悉的球面长得像，却又微妙地不同。
像，但不一样。
数学上叫「怪球」。
数学家想知道一件事。
这些怪球，能不能像普通球面那样，每个地方都均匀地向内弯。
怪球 1956 年就被发现了。
这个弯曲的问题，悬了 70 年。
丘成桐 1982 年把它写进自己的问题清单。
排第二位。
七维空间里的 27 种怪球
1956 年，美国数学家米尔诺造出了一个奇怪的东西。
它和标准的七维球面在拓扑上完全一样。
你可以把它想成一团橡皮泥。
随便揉捏、拉伸，都能变回普通球面。
但规则一改，结果就翻了。
只允许光滑地变形。
每个点的移动都平缓过渡、不许突变，它就变不回去。
这种球面和标准球面「形状一样，手感不同」。
数学上叫怪球。
米尔诺靠这个发现拿了菲尔兹奖。
七年后，科维尔和米尔诺证明了一件事。
七维空间里这种光滑版本，一共有 28 种。
标准球面算一种。
另外 27 种不是。
剩下这些就是怪球，它们凑成一个代数结构。
标准球面有个好性质。
它的截面曲率处处为正。
说白了就是每一小块、从每个角度看都朝内弯，没有一处是平的或者外翻。
数学家自然想问，另外 27 个怪球行不行。
最先取得突破的是格罗莫尔和迈耶。
1974 年，他们在一个怪球上造出了非负曲率的度量。
也就是说，这个怪球的每一小块要么向内弯，要么刚好是平的。
但绝不外翻。
2020 年，格特、凯林和尚卡尔把结果推到了全部 28 种球面。
每一种都能配上非负曲率的度量。
从非负到正，中间还差最后一步。
就差这一步。
允许有些地方不弯，和每个地方都必须弯，是两码事。
这一步看着小，卡了数学界半个多世纪。
2008 年，彼得森和威尔海姆发过一篇预印本。
他们声称在一个怪球上做到了正曲率。
但证明始终没有通过同行评审。
丘成桐参与的这篇论文，宣称补上了这一步。
它证明 28 种七维球面，每一种都能配上截面曲率严格为正的度量。
如果结果最终被数学界接受，这个悬了很久的问题就被彻底解决。
两块圆盘，一道接缝
从非负跨到正，难在一个很微妙的地方。
布伦德尔和舍恩证明过一个球定理。
一个流形上的正曲率如果太均匀，就和标准球面光滑等价。
怪球上的正曲率必须正，又不能正得太均匀。
否则它就不再是怪球。
宁可窄，也不能匀。
留给构造的空间，非常窄。
论文的核心思路，是把每个怪球切成两半。
怎么切。
作者用了杜兰、普特曼和里加斯提出的「双圆盘模型」。
每种七维球面都能看成两个七维圆盘沿着边界粘起来。
28 种球面，对应 28 种粘法。
于是问题变成两件事。
能不能在每块圆盘上各造一个处处向内弯的度量。
两块圆盘在接缝处，能不能严丝合缝。
作者没有直接在七维圆盘上动手。
宁可绕一步，也不硬碰。
他们先把问题搬进一个十维空间。
为什么。
具体做法是，以三维球面为纤维做一个「主丛」。
七维圆盘的每个点上，都站着一个三维小球。
所有小球加起来，就是那个十维空间。
在十维空间里造度量，技术上更容易控制。
然后他们用一种叫「黎曼淹没」的操作。
把十维的度量投影回七维圆盘。
这里的关键工具是「奥尼尔公式」。
这个公式保证一件事。
从十维投影到七维之后，曲率只会变大或者不变。
所以只要十维空间里的曲率是正的，投影下来的度量自动满足条件。
而在十维空间里做到正曲率，靠的是把那些三维小球取到极小。
纤维越细，自身的弯曲就越厉害。
越细越弯。
这份曲率足以压住其他方向上冒出来的负贡献。
两块圆盘的造法并不对称。
完全不一样。
南盘用的是弯曲底盘，加一套精选的联络。
北盘用的是扁平乘积联络，配翘曲的径向轮廓。
两种做法各有各的难点。
但它们在边界处，必须完美对接。
对接要满足两个条件。
一是边界上诱导出的度量完全一致。
二是两侧的第二基本形式加起来，在每个方向上都严格为正。
论文先在公共边界上建立同一套坐标。
然后证明，两侧的纤维半径关于法向的导数刚好相反。
纤维部分的贡献在拼接时正好抵消。
角向部分的贡献加起来，严格为正。
到这里，赖泽和雷斯的拼接定理就能收尾。
它保证粘合后的整个球面上，存在一个光滑的正曲率度量。
论文还附了一套符号计算的验证代码。
不是摆设。
整个构造涉及大量曲率不等式的精确估计和参数选取。
人工逐一核查，几乎做不到。
计算机验证在这里是可信度的重要支撑。
丘成桐与 AI 这三年
丘成桐对人工智能的态度，这几年变化很清楚。
一条上行曲线。
2023 年 4 月，他说人工智能不可能影响最尖端的数学家。
2024 年 4 月，在中关村论坛上，他的说法软了一点。
他改口说人工智能对数学有很多好处，可以帮助数学发展。
但他坚持认为，它改变不了数学。
态度很硬。
到了今年，口风明显不同。
1 月，他说人工智能改变的是科研效率，还谈不上范式革命。
6 月，他说它能解很多「可爱的小问题」，离改变整个数学还很远。
7 月，在国际弦理论大会上，他主张学生尽早学会用AI工具。
查资料和找文献这些事，都能派上用场。
然后是这篇论文。
他和两位合作者在致谢里感谢了 ChatGPT 6 Astra。
论文紧接着补了一句，人工验证和写论文的责任由作者自己承担。
话说得依然克制。
但和三年多前那句「不会有任何影响」相比，他已经不再把人工智能挡在研究之外了。
陶哲轩是这一波里最早拥抱 AI 的顶尖数学家。
他把 AI 当作研究助理。
用得很早。
用来生成代码和检索文献，还能验证形式化证明。
但他和今年的菲尔兹奖得主邓煜等 25 位菲尔兹奖得主联名发了一份声明。
声明警告 AI 公司把解决数学问题当成 benchmark 来冲刺。
这种做法已经和数学共同体的目标出现严重偏移。
在他们看来，数学研究的核心追求是概念理解与洞见。
解题只是工具。
这是分歧的根。
丘成桐也表达过相近的意思。
论文发出四天前，他说人工智能能汇集既有知识、推动常规工作。
但人往往因为已经拿到想要的答案，反而不敢去问更重要的问题。
他认为，机器替代不了人类独有的原创思考和瞬时迸发的灵感。
两位数学家的关切其实相通。
他们都在追问同一件事。
当机器越来越会解题，数学家还愿不愿意继续去问那些机器解不了的问题。
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